平均値の95%信頼区間は、標準誤差を用いた理論式から求めることができます。
一方で、中央値や相関係数、複雑なモデルの統計量などでは、理論的に分布を求めることが難しかったり、信頼区間の計算が複雑になったりする場合があります。
そうした場面で利用される代表的な方法がブートストラップ法（bootstrap method）です。
今回は、ブートストラップ法の基本的な考え方から、信頼区間の求め方、使われる場面、注意点まで解説します。
ブートストラップ法とは？
ブートストラップ法とは、手元にある標本データから復元抽出を繰り返して多数のリサンプルを作り、それぞれから統計量を計算することで、その統計量のばらつきを推定する方法です。
ここでいう「復元抽出」とは、データを1つ選んだ後に元のデータへ戻し、同じデータを再び選べるようにして抽出する方法です。そのため、1つのリサンプルの中に同じデータが複数回含まれることがあります。
たとえば、100人分のデータがあるとします。
この100人のデータから、100人を復元抽出して1つのリサンプルを作ります。そのリサンプルから、関心のある統計量（平均値や中央値など）を計算します。
この操作を1,000回、5,000回、10,000回などと繰り返すと、繰り返し回数分の統計量が得られます。
この多数の統計量を並べたものがブートストラップ分布です。
このブートストラップ分布を利用することで、統計量の標準誤差や信頼区間などを推定できます。
なぜこれで統計量のばらつきが分かるのか？
ポイントは、標本を母集団の近似として扱うことです。
本来知りたいのは「同じ母集団から何度も標本を取り直したとき、中央値や相関係数などの統計量がどの程度変動するか」です。
しかし、実際には同じ母集団から何度もデータを取り直すことはできません。
そこで、手元の標本データを母集団の近似とみなし、そこから復元抽出を繰り返します。
つまり、
母集団から何度も標本を取り直す代わりに、手元の標本から何度もリサンプリングする
という発想です。
ブートストラップ信頼区間の求め方
ブートストラップ法を使って信頼区間を求める方法にはいくつかあります。
代表的な方法の一つがパーセンタイル法（percentile method）です。
たとえば、5,000回のリサンプリングを行ったとします。
それぞれのリサンプルから中央値を計算すると、5,000個の中央値が得られます。
これらを小さい順に並べ、下位2.5%点と上位97.5%点を求めます。
この2つの値の間を95%信頼区間とするのが、パーセンタイル法です。
つまり、
ブートストラップ統計量の分布 → その2.5パーセンタイル点と97.5パーセンタイル点 → 95%信頼区間
という流れになります。
これは、平均値の信頼区間でよく使われる
推定値 ± 1.96 × 標準誤差
という形の理論式を直接使う方法とは異なります。
どんな場面で使われるのか
ブートストラップ法は、特に以下のような場面で有用です。
① 理論的な分布を求めるのが難しい統計量
平均値などは標準誤差や標本分布について比較的よく知られた理論があります。
一方、中央値、相関係数、分位点、複雑なモデルの係数の組み合わせなどでは、
統計量の標本分布を理論的に求めることが難しい場合があります。
このような場合に、ブートストラップによって統計量の分布を経験的に近似することができます。
② 母集団分布について強い仮定を置きたくない場合
通常の理論的な方法では、統計量の分布を求めるために正規性などの仮定を置く場合があります。
例えば、平均値の信頼区間を計算するときにはt分布を仮定することがあります。
一方、ブートストラップ法では母集団が正規分布に従うことを前提とせずに統計量の分布を推定します。
ただし、「ブートストラップ法は分布について一切の仮定を必要としない」という意味ではありません。
ブートストラップ法も、手元の標本が母集団をある程度適切に代表していることなどを前提としています。
また、標本サイズが小さすぎる場合や、データに特殊な構造がある場合には、単純なブートストラップが適切でないこともあります。
③ 複雑な統計解析を行う場合
たとえば、複数の統計量を組み合わせた指標や、複雑なモデルから得られる統計量について、その標準誤差や信頼区間を求めたい場合があります。
このような場合にも、リサンプリングしたデータに対して解析を繰り返すことで、統計量のばらつきを推定できることがあります。
ブートストラップ法を使うときの注意点
便利な方法である一方、ブートストラップ法にも注意点があります。
① 元の標本データの質に依存する
ブートストラップ法では、手元の標本データから繰り返しリサンプリングします。
そのため、元の標本に含まれていない情報を新たに生み出すことはできません。
たとえば、元の標本が母集団を適切に代表していなかった（一般化可能性が担保されていない）場合、ブートストラップを何万回繰り返しても、その問題を解決することはできません。
ブートストラップは「標本の問題を解決する方法」ではなく、得られた標本を利用して統計量の不確実性を評価する方法と考えると分かりやすいでしょう。
② サンプルサイズが小さすぎる場合には注意が必要
「サンプルサイズが小さい場合でもブートストラップを使えば問題ない」と考えるのは適切ではありません。
標本サイズが非常に小さいと、元の標本に含まれる情報そのものが限られているため、リサンプリングによって得られるブートストラップ分布が母集団での統計量の分布を十分に再現できないことがあります。
したがって、小標本だからブートストラップを使う、という単純な判断ではなく、統計量やデータの性質を考慮することが重要です。
③ リサンプリング回数
ブートストラップでは、通常1,000回、5,000回、10,000回など、十分な回数のリサンプリングを行います。
回数を増やすほどブートストラップ分布そのもののシミュレーション誤差は小さくなりますが、回数を増やせば統計的な問題が解決するわけではありません。
必要なリサンプリング回数は、推定したい統計量や信頼区間の方法、必要な精度などによって異なります。
まとめ
今回はブートストラップ法について解説しました。
ブートストラップ法のポイントは以下のとおりです。
- ブートストラップ法は、手元の標本から復元抽出を繰り返し、統計量のばらつきを推定する方法
- 母集団から何度も標本を取り直す代わりに、手元の標本を使ってリサンプリングする
- 中央値や相関係数など、理論的な標本分布を扱うことが難しい統計量にも利用できる
- パーセンタイル法などを使って信頼区間を推定できる
- 元の標本が母集団を適切に代表していることが重要
ブートストラップ法は、「理論式がないから使う方法」というだけではありません。
「統計量の標本分布を理論的に求める代わりに、手元のデータからリサンプリングして、その分布を近似する」
という考え方を理解することが、ブートストラップ法を理解するうえで重要です！
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